9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 25, sin A = 4/5. Найдите длину стороны AC.

Решение:

1. Определение синуса: В прямоугольном треугольнике синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):
   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
2. Нахождение катета BC: Подставим известные значения:
   \[ \frac{4}{5} = \frac{BC}{25} \]Решим это уравнение относительно BC:
   \[ BC = \frac{4}{5} \times 25 = 4 \times 5 = 20 \]
3. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($$AC^2 + BC^2 = AB^2$$).
4. Нахождение катета AC: Подставим известные значения:
   \[ AC^2 + 20^2 = 25^2 \] \[ AC^2 + 400 = 625 \] \[ AC^2 = 625 - 400 \] \[ AC^2 = 225 \] \[ AC = \sqrt{225} \] \[ AC = 15 \]

Ответ: 15