9. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, а гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Пусть один острый угол \( \alpha = 45° \).

Тогда второй острый угол \( \beta = 90° - \alpha = 90° - 45° = 45° \).

Так как оба острых угла равны 45°, треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Это значит, что катеты равны: \( a = b \).

Гипотенуза \( c = 10 \text{ см} \).

По теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]\[ a^2 + a^2 = 10^2 \]\[ 2a^2 = 100 \]\[ a^2 = \frac{100}{2} \]\[ a^2 = 50 \]\[ a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]

Так как \( a = b \), то и второй катет равен \( 5\sqrt{2} \text{ см} \).

Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см и \( 5\sqrt{2} \) см.