9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны π/2. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

Дано:

• Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 4 \) и \( b = 1 \).
• Высота призмы \( h_{призмы} = \frac{\pi}{2} \).

Найти:

• Объем описанного цилиндра \( V_{цилиндра} \).

Нахождение радиуса основания цилиндра:

Цилиндр, описанный около прямой призмы, имеет высоту, равную высоте призмы. Радиус основания цилиндра равен радиусу описанной окружности около основания призмы.

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17 \]\[ c = \sqrt{17} \]

Радиус описанной окружности \( R \) равен:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} \]

Высота цилиндра равна высоте призмы:

\[ H_{цилиндра} = h_{призмы} = \frac{\pi}{2} \]

Вычисление объема цилиндра:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi R^2 H \).

\[ V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\pi}{2} \]\[ V = \pi \cdot \frac{17}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \]\[ V = \frac{17\pi^2}{8} \]

Ответ: объем цилиндра равен $$\frac{17\pi^2}{8}$$.