7. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 √3см³.

Решение:

Дано:

• Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 16\sqrt{3} \) см².
• Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти:

• Объем цилиндра \( V \).

Нахождение высоты и радиуса:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого образует с основанием (диаметром) угол \( 60^{\circ} \).

Пусть \( h \) — высота цилиндра, \( d \) — диаметр основания. Тогда площадь осевого сечения \( S_{ос} = d \cdot h \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, диаметром и диагональю осевого сечения, высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( 60^{\circ} \), а диаметр \( d \) — прилежащим катетом.

Из свойств прямоугольного треугольника:

• \( h = d \cdot \tan(60^{\circ}) = d\sqrt{3} \)
• \( d = \frac{S_{ос}}{h} = \frac{16\sqrt{3}}{h} \)

Подставим \( h \) в выражение для \( d \):

\[ d = \frac{16\sqrt{3}}{d\sqrt{3}} \] \[ d^2 = 16 \] \[ d = 4 \text{ см} \] (так как \( d > 0 \))

Теперь найдем высоту:

\[ h = d\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Радиус основания \( r \) равен половине диаметра:

\[ r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} \]

Вычисление объема:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi r^2 h \).

\[ V = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot (4\sqrt{3} \text{ см}) = \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 4\sqrt{3} \text{ см} = 16\sqrt{3}\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: г) 16√3 πсм³.