9 Тип 12 i Найдите точку минимума функции y = x³ – 30x² + 17. Ответ:

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 30x^2 + 17 \), необходимо найти первую производную функции и определить, в какой точке она меняет знак с минуса на плюс.

1. Найдем первую производную: \( y' = (x^3 - 30x^2 + 17)' = 3x^2 - 60x \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 60x = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 3x(x - 20) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 20 \).
4. Определим знак производной на интервалах, образованных этими точками:
   • На интервале \( (-∞, 0) \), например, при \( x = -1 \): \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 60(-1) = 3 + 60 = 63 > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (0, 20) \), например, при \( x = 1 \): \( y'(1) = 3(1)^2 - 60(1) = 3 - 60 = -57 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (20, +∞) \), например, при \( x = 21 \): \( y'(21) = 3(21)^2 - 60(21) = 3 · 441 - 1260 = 1323 - 1260 = 63 > 0 \). Функция возрастает.
5. Точка \( x = 0 \) является точкой максимума (производная меняет знак с плюса на минус), а точка \( x = 20 \) является точкой минимума (производная меняет знак с минуса на плюс).

Ответ: 20.