10 Тип 12 i Найдите наибольшее значение функции y = x² – 18x² + 11 на отрезке [-3;3]. Ответ:

Решение:

Обратите внимание, что в условии задачи, скорее всего, опечатка, и функция должна быть третьей степени: \( y = x^3 - 18x^2 + 11 \). Если функция \( y = x^2 - 18x^2 + 11 \), то \( y = -17x^2 + 11 \), и это парабола ветвями вниз. Наибольшее значение будет в вершине \( x = 0 \), равное 11.

Предполагаем, что функция \( y = x^3 - 18x^2 + 11 \). Найдем наибольшее значение на отрезке \( [-3; 3] \).

1. Найдем первую производную: \( y' = (x^3 - 18x^2 + 11)' = 3x^2 - 36x \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 36x = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 3x(x - 12) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 12 \).
4. Из критических точек \( x = 0 \) и \( x = 12 \) только \( x = 0 \) попадает в отрезок \( [-3; 3] \).
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей в отрезок:
   • При \( x = -3 \): \( y(-3) = (-3)^3 - 18(-3)^2 + 11 = -27 - 18 · 9 + 11 = -27 - 162 + 11 = -178 \).
   • При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 11 = 11 \).
   • При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 - 18(3)^2 + 11 = 27 - 18 · 9 + 11 = 27 - 162 + 11 = -124 \).
6. Сравним полученные значения: \( -178, 11, -124 \). Наибольшее значение равно \( 11 \).

Ответ: 11.