7 Тип 12 i Найдите точку минимума функции y = x⁴ – 32x – 9. Ответ:

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^4 - 32x - 9 \), необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем первую производную: \( y' = (x^4 - 32x - 9)' = 4x^3 - 32 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 32 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 4x^3 = 32 \) \( x^3 = 8 \) \( x = 2 \).
4. Чтобы определить, является ли найденная точка точкой минимума, найдем вторую производную: \( y'' = (4x^3 - 32)' = 12x^2 \).
5. Проверим знак второй производной в точке \( x = 2 \): \( y''(2) = 12 · 2^2 = 12 · 4 = 48 \).
6. Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) находится минимум функции.

Ответ: 2.