9) Решите неравенство \(\frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \geq 0\)

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Найдём корни числителя и знаменателя:

Числитель: \(x + 8 = 0 \implies x = -8\)

Знаменатель: \((4x-1)(x-2) = 0 \implies 4x-1 = 0 \text{ или } x-2 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \text{ или } x = 2\)

Отметим точки \(-8, \frac{1}{4}, 2\) на числовой оси. Эти точки разбивают числовую ось на 4 интервала: \((-\infty; -8], [-8; \frac{1}{4}), (\frac{1}{4}; 2), (2; +\infty)\). Проверим знак выражения в каждом интервале:

• \(x < -8\) (например, \(x = -10\)): \(\frac{-10+8}{(4(-10)-1)(-10-2)} = \frac{-2}{(-41)(-12)} = \frac{-2}{492} < 0\)
• \(-8 \leq x < \frac{1}{4}\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{0+8}{(4(0)-1)(0-2)} = \frac{8}{(-1)(-2)} = \frac{8}{2} > 0\)
• \(\frac{1}{4} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): \(\frac{1+8}{(4(1)-1)(1-2)} = \frac{9}{(3)(-1)} = \frac{9}{-3} < 0\)
• \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(\frac{3+8}{(4(3)-1)(3-2)} = \frac{11}{(11)(1)} = \frac{11}{11} > 0\)

Нам нужны интервалы, где выражение \(\geq 0\). Это \([-8; \frac{1}{4})\) и \((2; +\infty)\).

Ответ: 2) [-8;¼) U (2;+∞)