9. Прямая касается окружности в точке К. Точка - центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83°. Найди-те вели-чи-ну угла МК. Ответ дайте в гра-ду-сах.

Задание 9. Угол между касательной и хордой

Свойство: Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угловой меры дуги, заключенной между этими прямыми.

Дано:

• Касательная к окружности в точке K.
• Хорда KM.
• Угол между касательной и хордой \( \angle (кас., KM) = 83^\circ \)
• O — центр окружности.

Найти: \( \angle KMO \)

Решение:

1. Угол между касательной и хордой KM равен \( 83^\circ \). По свойству, этот угол равен половине дуги KM.
2. Следовательно, градусная мера дуги KM равна \( 2 \cdot 83^\circ = 166^\circ \).
3. Центральный угол \( \angle KOM \) также равен дуге KM, то есть \( \angle KOM = 166^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник \( \triangle OMK \). Он равнобедренный, так как OM и OK — радиусы окружности.
5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OMK = \angle OKM \).
6. Сумма углов в \( \triangle OMK \) равна \( 180^\circ \): \( \angle KOM + \angle OMK + \angle OKM = 180^\circ \)
7. \( 166^\circ + \angle OMK + \angle OMK = 180^\circ \)
8. \( 166^\circ + 2 \cdot \angle OMK = 180^\circ \)
9. \( 2 \cdot \angle OMK = 180^\circ - 166^\circ = 14^\circ \)
10. \( \angle OMK = \frac{14^\circ}{2} = 7^\circ \)
11. Угол, который нужно найти, — это \( \angle KMO \), который равен \( \angle OMK \).

Ответ: 7