9. Площадь прямоугольного треугольника равна 8√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим катеты как 'a' и 'b'. Площадь прямоугольного треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \). По условию, \( S = 8\sqrt{3} \). Значит, \( \frac{1}{2}ab = 8\sqrt{3} \), или \( ab = 16\sqrt{3} \).
2. Шаг 2: Пусть один из острых углов равен 60°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, следовательно, второй острый угол равен 30°.
3. Шаг 3: Отношение катетов связано с тангенсом углов. Например, \( \tan(60°) = \frac{a}{b} \) (если 'a' — противолежащий катет к углу 60°, а 'b' — прилежащий). Так как \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), то \( \frac{a}{b} = \sqrt{3} \), откуда \( a = b\sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Подставим это выражение для 'a' в уравнение \( ab = 16\sqrt{3} \): \( (b\sqrt{3})b = 16\sqrt{3} \).
5. Шаг 5: Упростим и найдем 'b': \( b^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) => \( b^2 = 16 \) => \( b = 4 \) (так как длина катета положительна).
6. Шаг 6: Найдем катет 'a': \( a = b\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).
7. Шаг 7: Нам нужно найти длину катета, прилежащего к углу 60°. Это катет 'b'.

Ответ: 4