9. Найти угол между касательной к графику функции и осью Ох.

Решение:

Функция: \( f(x) = \frac{1}{x} + 10 \). Точка: \( x_0 = 1 \).

Угол \( \alpha \) между касательной к графику функции и положительным направлением оси Ох определяется формулой \( \tan \alpha = f'(x_0) \).

1. Найдем производную функции:

\( f(x) = x^{-1} + 10 \)

\( f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)

2. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\( f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \)

3. Найдем угол \( \alpha \), зная \( \tan \alpha \):

\( \tan \alpha = -1 \)

Это означает, что угол \( \alpha = 135^{\circ} \) (или \( \frac{3\pi}{4} \) радиан).

Ответ: \( 135^{\circ} \)