9. Найти: ME.

Решение:

1. Треугольник MNE и треугольник PNE — прямоугольные, так как MN и NP — диаметры.
2. В прямоугольном треугольнике MNE, по теореме Пифагора: ME² = MN² - NE² = (2*EP)² - 4² = 4EP² - 16.
3. В прямоугольном треугольнике PNE, по теореме Пифагора: PE² = PN² - NE² = (2*EP)² - 6² = 4EP² - 36.
4. Сравнивая два уравнения, получаем: ME² = PN² - NE² + 36 = PE² + 36.
5. ME² = 4EP² - 16.
6. PE² = 4EP² - 36.
7. 4EP² - ME² = 16.
8. 4EP² - PE² = 36.
9. 3EP² = 36, EP² = 12, EP = √12 = 2√3.
10. ME² = 4(12) - 16 = 48 - 16 = 32.
11. ME = √32 = 4√2.

Ответ: 4√2