11. Доказать: ΔADK ~ ΔAEK, AK⋅KE = DK⋅KF.

Решение:

1. Угол DAK — общий для обоих треугольников.
2. Угол ADK и угол AEK — вписанные углы, опирающиеся на дугу AK. Следовательно, ∠ADK = ∠AEK.
3. По признаку подобия треугольников по двум углам, ΔADK ~ ΔAEK.
4. Из подобия треугольников следует отношение сторон: AK/AE = AD/AK = DK/EK.
5. Отсюда AK⋅EK = AE⋅AD.
6. Теорема о секущих: Если из точки вне круга проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.
7. В данном случае, AK⋅KF = DK⋅KE.

Ответ: Доказано.