9. Найдите все корни уравнения 3⋅4^x + 6^x - 2⋅9^x = 0.

Решение:

Данное уравнение: \( 3 \cdot 4^x + 6^x - 2 \cdot 9^x = 0 \).

Перепишем основания степеней как произведения простых чисел:

\( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \)
\( 6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x \)
\( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \)

Подставим эти выражения в уравнение:

\( 3 \cdot (2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( (3^x)^2 \) (так как \( 3^x \) никогда не равно нулю).

\( 3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0 \)
\( 3 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0 \)
\( 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Тогда \( y^2 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} \).

Получим квадратное уравнение относительно \( y \):

\( 3y^2 + y - 2 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения. Используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \)

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \). Вспомним, что \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \).

Случай 1: \( y_1 = \frac{2}{3} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \)
\( x = 1 \)

Случай 2: \( y_2 = -1 \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = -1 \)

Показательная функция \( a^x \) всегда положительна, поэтому \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \) не может быть равно -1. Этот корень посторонний.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: x = 1