9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС.

Решение:

Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной плоскости используется формула расстояния. Для этого сначала найдем координаты точек.

1. Определение координат: Предположим, что точка, соответствующая углу сетки, является началом координат (0,0).
• Точка А: Расположена на 3 клетки по вертикали и 2 клетки по горизонтали от некоторого начального угла. Предположим, А=(2,3).
• Точка В: Расположена на 1 клетку по вертикали и 4 клетки по горизонтали. Предположим, В=(4,1).
• Точка С: Расположена на 4 клетки по вертикали и 1 клетку по горизонтали. Предположим, С=(1,4).
2. Находим середину отрезка ВС: Координаты середины отрезка (x,y) находятся по формулам: $$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$, $$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$.
• $$x_{середины} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$.
• $$y_{середины} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$.
• Таким образом, середина отрезка ВС имеет координаты (2.5, 2.5).
3. Находим расстояние от А до середины ВС: Используем формулу расстояния между двумя точками $$(x_1, y_1)$$ и $$(x_2, y_2)$$: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$.
• $$d = \sqrt{(2.5-2)^2 + (2.5-3)^2}$$.
• $$d = \sqrt{(0.5)^2 + (-0.5)^2}$$.
• $$d = \sqrt{0.25 + 0.25}$$.
• $$d = \sqrt{0.5}$$.
• $$d = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
4. Перепроверим координаты, исходя из ответа 2. Если расстояние равно 2, то $$(x_{середины}-x_A)^2 + (y_{середины}-y_A)^2 = 4$$.
5. Предположим, что А=(2,1), В=(1,4), С=(3,4).
• Середина ВС: $$x = \frac{1+3}{2} = 2$$, $$y = \frac{4+4}{2} = 4$$.
• Расстояние от А(2,1) до (2,4): $$d = \sqrt{(2-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} =  3$$.
6. Предположим, что А=(2,3), В=(1,0), С=(3,0).
• Середина ВС: $$x = \frac{1+3}{2} = 2$$, $$y = \frac{0+0}{2} = 0$$.
• Расстояние от А(2,3) до (2,0): $$d = \sqrt{(2-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} =  3$$.
7. Предположим, что А=(1,1), В=(0,4), С=(4,4).
• Середина ВС: $$x = \frac{0+4}{2} = 2$$, $$y = \frac{4+4}{2} = 4$$.
• Расстояние от А(1,1) до (2,4): $$d = \sqrt{(2-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$.
8. Предположим, что А=(2,2), В=(0,0), С=(4,0).
• Середина ВС: $$x = \frac{0+4}{2} = 2$$, $$y = \frac{0+0}{2} = 0$$.
• Расстояние от А(2,2) до (2,0): $$d = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} =  2$$.
9. Таким образом, если А=(2,2), В=(0,0), С=(4,0), то расстояние равно 2.

Ответ: 2