9. Известно, что парабола проходит через точку B(-1; - \( \frac{1}{4} \)) и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую у = -16.

Решение:

1. Нахождение уравнения параболы:

Общее уравнение параболы с вершиной в начале координат \((0,0)\) имеет вид \(y = ax^2\) (если ветви направлены вверх или вниз) или \(x = ay^2\) (если ветви направлены влево или вправо).

Поскольку точка \(B(-1; -\frac{1}{4})\) имеет отрицательную y-координату при отрицательной x-координате, это может соответствовать параболе \(y = ax^2\) с \(a < 0\).

Подставим координаты точки B в уравнение \(y = ax^2\):

\(-\frac{1}{4} = a × (-1)^2\)

\(-\frac{1}{4} = a × 1\)

\(a = -\frac{1}{4}\)

Таким образом, уравнение параболы: \(y = -\frac{1}{4}x^2\).

2. Нахождение точек пересечения с прямой y = -16:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения параболы и прямой:

\(-16 = -\frac{1}{4}x^2\)

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дроби и отрицательного знака:

\((-16) × (-4) = (- \frac{1}{4}x^2) × (-4)\)

\(64 = x^2\)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\(x = ±\sqrt{64}\)

\(x = ± 8\)

Мы получили два значения x: \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -8\).

Значения y для обеих точек равны -16 (так как они лежат на прямой \(y = -16\)).

Следовательно, точки пересечения:

• \((8; -16)\)
• \((-8; -16)\)

Ответ: Уравнение параболы: \(y = -\frac{1}{4}x^2\). Точки пересечения с прямой \(y = -16\): \((8; -16)\) и \((-8; -16)\).