7. Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается: |6x + 5y + 7| + |2x + 3y + 1|

Решение:

Наименьшее значение суммы модулей достигается, когда каждый из модулей равен нулю (если это возможно).

Приравняем выражения внутри модулей к нулю и решим полученную систему линейных уравнений:

\(\begin{cases} 6x + 5y + 7 = 0 \\ 2x + 3y + 1 = 0 \end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \(2x\):

\(2x = -3y - 1\)

Умножим это уравнение на 3, чтобы получить \(6x\):

\(3 × (2x) = 3 × (-3y - 1)\)

\(6x = -9y - 3\)

Теперь подставим это выражение для \(6x\) в первое уравнение:

\((-9y - 3) + 5y + 7 = 0\)

\(-4y + 4 = 0\)

\(-4y = -4\)

\(y = 1\)

Теперь найдём \(x\), подставив \(y = 1\) во второе уравнение (или в \(2x = -3y - 1\)):

\(2x + 3(1) + 1 = 0\)

\(2x + 3 + 1 = 0\)

\(2x + 4 = 0\)

\(2x = -4\)

\(x = -2\)

Таким образом, при \(x = -2\) и \(y = 1\), оба выражения в модулях обращаются в ноль:

\(6(-2) + 5(1) + 7 = -12 + 5 + 7 = 0\)

\(2(-2) + 3(1) + 1 = -4 + 3 + 1 = 0\)

Следовательно, наименьшее значение выражения равно сумме нулей:

\(|0| + |0| = 0\).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 0, и оно достигается при \(x = -2\) и \(y = 1\).