8. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Решение:

1. Пусть центры окружностей будут O1, O2, O3, а их радиусы r1 = 2, r2 = 3, r3 = 10.
2. Так как окружности касаются внешним образом, расстояния между центрами равны сумме их радиусов:
• O1O2 = r1 + r2 = 2 + 3 = 5
• O1O3 = r1 + r3 = 2 + 10 = 12
• O2O3 = r2 + r3 = 3 + 10 = 13
3. Таким образом, мы имеем треугольник со сторонами 5, 12, 13.
4. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: 5² + 12² = 25 + 144 = 169. 13² = 169.
5. Так как 5² + 12² = 13², треугольник является прямоугольным.
6. Площадь прямоугольного треугольника S = (1/2) * (катет1) * (катет2) = (1/2) * 5 * 12 = 30.
7. Полупериметр треугольника p = (5 + 12 + 13) / 2 = 30 / 2 = 15.
8. Радиус вписанной окружности (r) в любом треугольнике вычисляется по формуле: r = S / p.
9. r = 30 / 15 = 2.

Ответ: 2