9. Докажите, что при любом $$n \in \mathbb{Z}$$ значение выражения: a) $$n^2 - 5n + 2$$ кратно 2; б) $$n^3 + 2n - 3$$ кратно 3.

Решение:

а) Докажем, что $$n^2 - 5n + 2$$ кратно 2.

Рассмотрим два случая для $$n$$: когда $$n$$ чётное и когда $$n$$ нечётное.

Случай 1: $$n$$ — чётное.

Пусть $$n = 2k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в выражение: $$(2k)^2 - 5(2k) + 2 = 4k^2 - 10k + 2 = 2(2k^2 - 5k + 1)$$.

Так как $$2k^2 - 5k + 1$$ — целое число, то выражение $$n^2 - 5n + 2$$ кратно 2.

Случай 2: $$n$$ — нечётное.

Пусть $$n = 2k + 1$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в выражение: $$(2k+1)^2 - 5(2k+1) + 2 = (4k^2 + 4k + 1) - (10k + 5) + 2 = 4k^2 + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 4k^2 - 6k - 2 = 2(2k^2 - 3k - 1)$$.

Так как $$2k^2 - 3k - 1$$ — целое число, то выражение $$n^2 - 5n + 2$$ кратно 2.

В обоих случаях выражение кратно 2.

б) Докажем, что $$n^3 + 2n - 3$$ кратно 3.

Рассмотрим три случая для $$n$$ по остатку от деления на 3: $$n = 3k$$, $$n = 3k+1$$, $$n = 3k+2$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

Случай 1: $$n = 3k$$.

Подставим: $$(3k)^3 + 2(3k) - 3 = 27k^3 + 6k - 3 = 3(9k^3 + 2k - 1)$$.

Так как $$9k^3 + 2k - 1$$ — целое число, то выражение кратно 3.

Случай 2: $$n = 3k + 1$$.

Подставим: $$(3k+1)^3 + 2(3k+1) - 3 = (27k^3 + 27k^2 + 9k + 1) + (6k + 2) - 3 = 27k^3 + 27k^2 + 15k = 3(9k^3 + 9k^2 + 5k)$$.

Так как $$9k^3 + 9k^2 + 5k$$ — целое число, то выражение кратно 3.

Случай 3: $$n = 3k + 2$$.

Подставим: $$(3k+2)^3 + 2(3k+2) - 3 = (27k^3 + 54k^2 + 36k + 8) + (6k + 4) - 3 = 27k^3 + 54k^2 + 42k + 9 = 3(9k^3 + 18k^2 + 14k + 3)$$.

Так как $$9k^3 + 18k^2 + 14k + 3$$ — целое число, то выражение кратно 3.

Во всех трёх случаях выражение $$n^3 + 2n - 3$$ кратно 3.

Вывод: Доказано, что при любом $$n \in \mathbb{Z}$$ оба выражения кратны соответствующим числам.