8. Найдите значение выражения $$\left(\frac{3^{-1}}{9a^2-3a+1} + \frac{9a^3-a}{27a^3-1}\right) : (3a+1)^{-2}$$ при $$a = \frac{2}{3}$$.

Решение:

Упростим выражение в скобках. Заметим, что \(9a^2-3a+1\) является множителем разности кубов \(27a^3-1 = (3a)^3-1^3 = (3a-1)(9a^2+3a+1)\). Однако, в знаменателе первой дроби стоит \(9a^2-3a+1\), а не \(9a^2+3a+1\). Возможно, в условии есть опечатка. Будем исходить из данного условия.

Первая дробь: \(\frac{3^{-1}}{9a^2-3a+1} = \frac{\frac{1}{3}}{9a^2-3a+1} = \frac{1}{3(9a^2-3a+1)}\).

Вторая дробь: \(\frac{9a^3-a}{27a^3-1} = \frac{a(9a^2-1)}{(3a-1)(9a^2+3a+1)} = \frac{a(3a-1)(3a+1)}{(3a-1)(9a^2+3a+1)} = \frac{a(3a+1)}{9a^2+3a+1}\).

Сложим дроби:

\(\frac{1}{3(9a^2-3a+1)} + \frac{a(3a+1)}{9a^2+3a+1}\).

Заметим, что \(9a^2+3a+1\) и \(9a^2-3a+1\) не являются множителями друг друга, и общего знаменателя, кроме произведения, нет. Это указывает на вероятную опечатку в условии.

Предполагая, что в знаменателе первой дроби должно быть $$9a^2+3a+1$$ (как часть разложения $$27a^3+1$$), или в знаменателе второй дроби $$27a^3+1$$ вместо $$27a^3-1$$, или в первой дроби $$3a+1$$ вместо $$9a^2-3a+1$$.

Если предположить, что знаменатель первой дроби $$9a^2+3a+1$$, то:

\(\frac{1}{3(9a^2+3a+1)} + \frac{a(3a+1)}{9a^2+3a+1} = \frac{1 + 3a(3a+1)}{3(9a^2+3a+1)} = \frac{1 + 9a^2+3a}{3(9a^2+3a+1)} = \frac{9a^2+3a+1}{3(9a^2+3a+1)} = \frac{1}{3}\).

Тогда выражение будет: \(\frac{1}{3} : (3a+1)^{-2} = \frac{1}{3} : \frac{1}{(3a+1)^2} = \frac{(3a+1)^2}{3}\).

Подставим $$a = \frac{2}{3}$$:

\(\frac{(3(\frac{2}{3})+1)^2}{3} = \frac{(2+1)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = \frac{9}{3} = 3\).

Если предположить, что знаменатель второй дроби $$27a^3+1 = (3a+1)(9a^2-3a+1)$$, то:

\(\frac{1}{3(9a^2-3a+1)} + \frac{a(3a+1)}{(3a+1)(9a^2-3a+1)} = \frac{1}{3(9a^2-3a+1)} + \frac{a}{9a^2-3a+1} = \frac{1 + 3a}{3(9a^2-3a+1)}\).

Это также не упрощается до простого значения.

Рассмотрим исходное условие как есть, не предполагая опечаток.

Вычислим значение при $$a = \frac{2}{3}$$:

$$9a^2-3a+1 = 9(\frac{2}{3})^2 - 3(\frac{2}{3}) + 1 = 9(\frac{4}{9}) - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$$.

$$27a^3-1 = 27(\frac{2}{3})^3 - 1 = 27(\frac{8}{27}) - 1 = 8 - 1 = 7$$.

$$3a+1 = 3(\frac{2}{3}) + 1 = 2 + 1 = 3$$.

Первая дробь: \(\frac{3^{-1}}{3} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9}\).

Вторая дробь: \(\frac{9a^3-a}{7} = \frac{9(\frac{2}{3})^3 - \frac{2}{3}}{7} = \frac{9(\frac{8}{27}) - \frac{2}{3}}{7} = \frac{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}}{7} = \frac{\frac{6}{3}}{7} = \frac{2}{7}\).

Выражение в скобках: \(\frac{1}{9} + \frac{2}{7} = \frac{7 + 18}{63} = \frac{25}{63}\).

Вторая часть: $$(3a+1)^{-2} = (3)^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

Итоговое выражение: \(\frac{25}{63} : \frac{1}{9} = \frac{25}{63} \times 9 = \frac{25}{7}\).

Ответ: $$\(\frac{25}{7}\)$$