7. Представьте дробь \(\frac{x-7}{x^2+x-2}\) в виде суммы двух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени с целыми коэффициентами.

Решение:

Для представления дроби \(\frac{x-7}{x^2+x-2}\) в виде суммы двух дробей, сначала разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2+x-2=0\):

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\).

Корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2\).

Значит, \(x^2+x-2 = (x-1)(x+2)\).

Теперь представим дробь в виде \(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\).

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{A(x+2) + B(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{Ax + 2A + Bx - B}{(x-1)(x+2)} = \frac{(A+B)x + (2A-B)}{(x-1)(x+2)}\).

Приравняем числители:

\((A+B)x + (2A-B) = x-7\).

Приравниваем коэффициенты при \(x\) и свободные члены:

1. \(A+B = 1\)
2. \(2A-B = -7\)

Сложим два уравнения:

\((A+B) + (2A-B) = 1 + (-7)\)

\(3A = -6\)

\(A = -2\).

Подставим \(A = -2\) в первое уравнение:

\(-2 + B = 1\)

\(B = 3\).

Таким образом, дробь можно представить как \(\frac{-2}{x-1} + \frac{3}{x+2}\).

Ответ: $$\frac{-2}{x-1} + \frac{3}{x+2}$$