9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому P = σST⁴, где P — мощность излучения звезды (в ваттах), σ = 5,7·10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴) — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1/16 · 10²⁰ м², а мощность её излучения равна 9,12 · 10²⁵ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Решение:

Воспользуемся законом Стефана-Больцмана: \( P = \sigma S T^4 \).

Из формулы выразим температуру \( T \):

\[ T^4 = \frac{P}{\sigma S} \]

\[ T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}} \]

Подставим известные значения:

\( P = 9,12 \cdot 10^{25} \) Вт

\( \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \) Вт/(м²·К⁴)

\( S = \frac{1}{16} \cdot 10^{20} \) м²

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12 \cdot 10^{25}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20}}} \]

Упростим знаменатель:

\[ 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \cdot 10^{20} = \frac{5,7}{16} \cdot 10^{12} \approx 0,35625 \cdot 10^{12} \]

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12 \cdot 10^{25}}{0,35625 \cdot 10^{12}}} \]

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12}{0,35625} \cdot 10^{13}} \]

\[ T = \sqrt[4]{25,6 \cdot 10^{13}} = \sqrt[4]{2560 \cdot 10^{12}} \]

\[ T = \sqrt[4]{2560} \cdot \sqrt[4]{10^{12}} \]

Заметим, что \( 10^{12} = (10^3)^4 \), значит \( \sqrt[4]{10^{12}} = 10^3 \).

Теперь найдём \( \sqrt[4]{2560} \). Можно заметить, что \( 7^4 = 2401 \) и \( 8^4 = 4096 \).

Попробуем \( T = 7 \) К, \( T^4 \) будет близко к 2401. Попробуем \( T = 7.1 \).

\( 7.1^4 \approx 2541 \)

\( 7.16^4 \approx 2600 \)

Более точное вычисление:

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12}{0,35625} \cdot 10^{13}} = \sqrt[4]{25.599 \cdot 10^{13}} = \sqrt[4]{255990 \cdot 10^{9}} \]

\[ T = \sqrt[4]{2.5599 \cdot 10^{18}} = \sqrt[4]{25.6} \times 10^{3} \]

\( \sqrt[4]{25.6} \approx 2.25 \)

Выполним расчет точнее:

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12 \times 10^{25}}{5,7 \times 10^{-8} \times 0,0625 \times 10^{20}}} = \sqrt[4]{\frac{9,12 \times 10^{25}}{0,35625 \times 10^{12}}} = \sqrt[4]{25,599 \times 10^{13}} = \sqrt[4]{255990 \times 10^{9}} \]

Или:

\[ T = \sqrt[4]{\frac{9,12 \times 10^{25}}{5,7 \times 10^{-8} \times \frac{1}{16} \times 10^{20}}} = \sqrt[4]{\frac{9,12 \times 10^{25}}{(\frac{5,7}{16}) \times 10^{12}}} = \sqrt[4]{\frac{9,12 \times 10^{25}}{0,35625 \times 10^{12}}} = \sqrt[4]{25,599 \times 10^{13}}\]

\[ T = \sqrt[4]{255990 \times 10^{9}} \]

Отдельно вычислим \( \frac{P}{\sigma S} \):

\[ \frac{9,12 \times 10^{25}}{5,7 \times 10^{-8} \times \frac{1}{16} \times 10^{20}} = \frac{9,12 \times 10^{25}}{(\frac{5,7}{16}) \times 10^{12}} = \frac{9,12 \times 10^{25}}{0,35625 \times 10^{12}} = 25,599.. \times 10^{13} \]

Перепишем как \( 25599.. \times 10^{9} \)

\( T = \sqrt[4]{255990 \times 10^9} \) — это не удобно.

Перепишем \( 25,599.. \times 10^{13} \) как \( 2.5599.. \times 10^{14} \).

\[ T = \sqrt[4]{2.5599.. \times 10^{14}} \]

\( 10^{14} = 10^{12} \times 10^2 = (10^3)^4 \times 100 \). Не удобно.

Вернемся к \( T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}} \).

\[ \frac{P}{\sigma S} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \, \cdot 10^{20}} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{\frac{5,7}{16} \cdot 10^{12}} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{0,35625 \cdot 10^{12}} = 25,599.. \cdot 10^{13} \]

Заметим, что \( 10^{13} = 10 \cdot 10^{12} = 10 \cdot (10^3)^4 \).

\[ T = \sqrt[4]{25,599.. \cdot 10 \cdot (10^3)^4} = \sqrt[4]{255,99..} \cdot 10^3 \]

\( \sqrt[4]{255,99..} \). \( 4^4 = 256 \). Значит, \( \sqrt[4]{255,99..} \approx 4 \).

\( 3.99^4 \approx 255.36 \)

\[ T \approx 4 \cdot 10^3 \text{ К} \]

Выполним более точные расчеты:

\[ \frac{P}{\sigma S} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{16} \, \cdot 10^{20}} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{5,7 \cdot 0,0625 \cdot 10^{12}} = \frac{9,12 \cdot 10^{25}}{0,35625 \cdot 10^{12}} = 25,599... \times 10^{13} \]

\( T = \sqrt[4]{25,599... \times 10^{13}} \)

\[ T = \sqrt[4]{255,99... \times 10^{12}} \]

\[ T = \sqrt[4]{255,99...} \times \sqrt[4]{10^{12}} \]

\( \sqrt[4]{10^{12}} = 10^{12/4} = 10^3 \)

\[ T \approx \sqrt[4]{256} \times 10^3 = 4 \times 10^3 = 4000 \text{ К} \]

Ответ: 4000 К.