9) Дан треугольник А.ЗС. Известно, что АC=BC=11, ∠B=15°. Найдите длину высоты ВЕ этого треугольника. Ответ:

Давай найдем длину высоты треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC
• $$AC = BC = 11$$ (значит, треугольник равнобедренный)
• $$\\( \angle B = 15^{\circ} \\)$$
• BE — высота, проведенная к стороне AC.

Решение:

Так как треугольник ABC равнобедренный с $$AC = BC$$, то углы при основании равны:

\[ \angle A = \angle B = 15^{\circ} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. В нем нам известны:

• Угол B ($$15^{\circ}$$)
• Сторона BC (гипотенуза) = 11
• Нам нужно найти высоту BE, которая является катетом, противолежащим углу B.

Мы можем использовать синус угла:

\[ \sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

\[ \sin(15^{\circ}) = \frac{BE}{BC} \]

\[ BE = BC \times \sin(15^{\circ}) \]

Теперь нам нужно найти значение $$\sin(15^{\circ})$$. Мы можем использовать формулу разности углов: $$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$$.

\[ \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) \]

\[ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \]

\[ \sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу для BE:

\[ BE = 11 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

\[ BE = \frac{11(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \]

Ответ: $$\frac{11(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$$