9. (3 б.) Дві ракети віддаляються одна від одної зі швидкостями 0,6с відносно нерухомого спостерігача. Доведіть, що відносна швидкість руху ракет не перевищує швидкості світла с.

Доведення:

Розглянемо нерухомого спостерігача (система відліку S). Нехай одна ракета (ракета 1) рухається вправо зі швидкістю \( v_1 = 0.6c \), а друга ракета (ракета 2) рухається вліво зі швидкістю \( v_2 = -0.6c \) (знак мінус вказує на протилежний напрямок руху).

Для знаходження відносної швидкості двох об'єктів, що рухаються в різних напрямках, в класичній механіці ми б просто додали їх швидкості: \( v_{відн} = v_1 + |v_2| = 0.6c + 0.6c = 1.2c \). Однак, в релятивістській механіці використовується формула додавання швидкостей:

\( u' = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}} \)

Де \( u \) — швидкість одного об'єкта відносно системи відліку, \( v \) — швидкість системи відліку відносно іншого об'єкта, а \( u' \) — відносна швидкість двох об'єктів.

У нашому випадку, нехай \( v = 0.6c \) (швидкість ракети 1 відносно спостерігача), а \( u = -0.6c \) (швидкість ракети 2 відносно спостерігача). Відносна швидкість ракет (тобто швидкість ракети 2 відносно ракети 1) буде:

\[ v_{відн} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} = \frac{0.6c + (-0.6c)}{1 + \frac{(0.6c)(-0.6c)}{c^2}} = \frac{0}{1 - \frac{0.36c^2}{c^2}} = \frac{0}{1 - 0.36} = 0 \]

Це означає, що якщо б ракети рухалися в одному напрямку, то відносна швидкість була б 0. Проте, питання стоїть про віддалення, тобто про швидкість одного відносно іншого. Візьмемо швидкість ракети 1 \( v=0.6c \) відносно спостерігача. Тепер знайдемо швидкість ракети 2, яка рухається зі швидкістю \( u=-0.6c \) відносно спостерігача, відносно ракети 1. Формула релятивістського додавання швидкостей записується як:

\[ v_{rel} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} \)

Де \( v_1 \) — швидкість першої ракети відносно спостерігача, \( v_2 \) — швидкість другої ракети відносно першої.

Якщо ми хочемо знайти швидкість ракети 2 відносно спостерігача, якби ракета 1 була нерухомою, то \( v \) — це швидкість ракети 1 відносно нерухомого спостерігача ( \( v = 0.6c \)), а \( u \) — це швидкість ракети 2 відносно нерухомого спостерігача ( \( u = -0.6c \)).

Швидкість ракети 2 відносно ракети 1: \( v' = \frac{u-v}{1 - \frac{uv}{c^2}} \).

\[ v' = \frac{-0.6c - 0.6c}{1 - \frac{(-0.6c)(0.6c)}{c^2}} = \frac{-1.2c}{1 - \frac{-0.36c^2}{c^2}} = \frac{-1.2c}{1 + 0.36} = \frac{-1.2c}{1.36} \]

\[ v' \approx -0.882c \]

Таким чином, відносна швидкість руху ракет становить приблизно \( 0.882c \), що менше за швидкість світла \( c \).

Висновок: Згідно з релятивістською формулою додавання швидкостей, сумарна швидкість двох тіл, що рухаються в протилежних напрямках зі швидкістю \( 0.6c \) відносно нерухомого спостерігача, є меншою за швидкість світла \( c \).