9. (3,5 б) Рівняння гармонічних коливань кульки на нитці має вигляд: х= 0,5sinat (м). Визначте довжину маятника, максимальну швидкість коливань тягарця та прискорення кульки у фазі п/6.

Рівняння коливань задано як \( x(t) = 0.5 \sin(\omega t) \), де \( x \) — зміщення, \( t \) — час, \( \omega \) — циклічна частота.

За заданим рівнянням:

• Амплітуда (A): \( A = 0.5 \) м.
• Циклічна частота (ω): З рівняння \( x = 0.5\sin(\omega t) \) неможливо визначити \( \omega \) без додаткової інформації, але в стандартному рівнянні \( x = A\sin(\omega t + \phi_0) \), \( \omega \) є коефіцієнтом перед \( t \). Якщо припустити, що \( \omega = \pi \) (як часто буває в подібних задачах, що означає період \( T=2 \) с), то:
  • Довжина маятника (L): Для математичного маятника \( \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \). Якщо \( \omega = \pi \) рад/с (при \( g \approx 10 \) м/с²), то \( \pi = \sqrt{\frac{10}{L}} \). \( \pi^2 = \frac{10}{L} \) \( L = \frac{10}{\pi^2} \approx \frac{10}{9.87} \approx 1.01 \) м.

  Максимальна швидкість (v_max): \( v_{max} = A \omega \).

  Якщо \( \omega = \pi \) рад/с, то \( v_{max} = 0.5 \text{ м} \cdot \pi \text{ рад/с} = 0.5\pi \) м/с ≈ 1.57 м/с.

  Прискорення (a): Рівняння прискорення: \( a(t) = -\omega^2 x(t) \).

  Нас цікавить прискорення у фазі \( \frac{\pi}{6} \). Фаза — це аргумент синуса \( \omega t \). Отже, \( \omega t = \frac{\pi}{6} \).

  Тоді зміщення в цей момент \( x = 0.5 \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5 \cdot \frac{1}{2} = 0.25 \) м.

  Прискорення в цей момент \( a = -\omega^2 x \). Якщо \( \omega = \pi \) рад/с:

  \[ a = -\pi^2 \cdot 0.25 \text{ м} \approx -9.87 \cdot 0.25 \text{ м} \approx -2.47 \text{ м/с}^2 \]