8. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см. Высота цилиндра 15 см, а радиус основания 5см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

Задание 8. Расстояние от оси до сечения цилиндра

Дано:

• Цилиндр.
• Высота цилиндра \( h = 15 \) см.
• Радиус основания \( r = 5 \) см.
• Сечение проведено параллельно оси.
• Диагональ сечения \( d_{сеч} = 17 \) см.

Найти: Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения (обозначим \( x \)).

Решение:

1. Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник.
2. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть \( h = 15 \) см.
3. Диагональ этого прямоугольника равна \( d_{сеч} = 17 \) см.
4. Стороны прямоугольника — это высота цилиндра (\( h \)) и хорда основания (\( a \)).
   По теореме Пифагора для прямоугольника сечения:
   \[ h^2 + a^2 = d_{сеч}^2 \]
   \[ 15^2 + a^2 = 17^2 \]
   \[ 225 + a^2 = 289 \]
   \[ a^2 = 289 - 225 = 64 \]
   \[ a = \sqrt{64} = 8 \] см.
5. Таким образом, длина хорды в основании цилиндра, параллельной плоскости сечения, равна 8 см.
6. Теперь рассмотрим основание цилиндра (круг). Хорда \( a = 8 \) см. Расстояние от центра круга (оси цилиндра) до хорды \( x \) можно найти, используя прямоугольный треугольник, образованный радиусом круга (\( r \)), половиной хорды (\( \frac{a}{2} \)) и расстоянием от центра до хорды (\( x \)).
7. В этом треугольнике радиус \( r \) — гипотенуза, а \( x \) и \( \frac{a}{2} \) — катеты.
8. \( \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
9. По теореме Пифагора:
   \[ x^2 + (\frac{a}{2})^2 = r^2 \]
   \[ x^2 + 4^2 = 5^2 \]
   \[ x^2 + 16 = 25 \]
   \[ x^2 = 25 - 16 = 9 \]
   \[ x = \sqrt{9} = 3 \] см.

Ответ: Сечение проведено на расстоянии 3 см от оси цилиндра.