6. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 450

Задание 6. Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Дано:

• Основание — правильный четырёхугольник (квадрат).
• Диагональ основания \( d = 4 \) см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания \( \alpha = 45^\circ \).

Найти: Объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Найдём сторону основания (a):
   В квадрате диагональ связана со стороной соотношением \( d = a \sqrt{2} \).
   \[ 4 = a \sqrt{2} \]
   \[ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] см.
2. Найдём площадь основания (S_осн):
   \[ S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \] см².
3. Найдём высоту пирамиды (h):
   В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Длина половины диагонали основания равна \( \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), половиной диагонали основания (\( \frac{d}{2} \)) и боковым ребром (l). Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между \( l \) и \( \frac{d}{2} \), то есть \( \alpha = 45^\circ \).
5. В этом треугольнике тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (высота h) к прилежащему катету (половина диагонали):
   \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d}{2}} \]
   \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{2} \]
   Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то:
   \[ 1 = \frac{h}{2} \]
   \[ h = 2 \] см.
6. Найдём объём пирамиды (V):
   Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \)
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2 = \frac{16}{3} \] см³.

Ответ: Объём пирамиды равен \(\frac{16}{3}\) см³.