4. Образующая конуса 10 см. Найдите объём конуса, если диаметр основания равен 16 см.

Задание 4. Объём конуса

Дано:

• Образующая конуса \( l = 10 \) см.
• Диаметр основания \( d = 16 \) см.

Найти: Объём конуса \( V \).

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

1. Найдём радиус основания.
   Радиус равен половине диаметра: \( R = \frac{d}{2} \).
   \[ R = \frac{16}{2} = 8 \) см.
2. Найдём высоту конуса.
   Радиус основания, высота конуса и образующая образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора: \( R^2 + h^2 = l^2 \).
   \[ 8^2 + h^2 = 10^2 \]
   \[ 64 + h^2 = 100 \]
   \[ h^2 = 100 - 64 \]
   \[ h^2 = 36 \]
   \[ h = \sqrt{36} = 6 \) см.
3. Вычислим объём конуса.
   Подставим найденные значения \( R \) и \( h \) в формулу объёма:
   \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
   \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 \]
   \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6 \]
   \[ V = \pi \cdot 64 \cdot \frac{6}{3} \]
   \[ V = \pi \cdot 64 \cdot 2 \]
   \[ V = 128 \(\pi\) \) см³.

Ответ: 128\(\pi\) см³.