8. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого рав см. Высота цилиндра 15 см, а радиус основания 5см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

Решение:

Дано:

Цилиндр.

Высота цилиндра \( h = 15 \) см.

Радиус основания \( R = 5 \) см.

Сечение параллельно оси, диагональ сечения \( d_{сеч} \) (в условии не указано значение, допустим \( d_{сеч} = 13 \) см для примера).

Найти: Расстояние от оси до сечения \( x \).

1. Сечение, проведённое через цилиндр параллельно его оси, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( h \), а другая — хорде основания \( a \). Диагональ сечения \( d_{сеч} \) является диагональю этого прямоугольника.
2. По теореме Пифагора для прямоугольника сечения: \( d_{сеч}^2 = h^2 + a^2 \).
3. Найдем длину хорды \( a \): \( a^2 = d_{сеч}^2 - h^2 \).
4. Пусть \( d_{сеч} = 13 \) см (по условию значение не указано, берем пример).
5. \( a^2 = 13^2 - 15^2 = 169 - 225 \). Это невозможно, так как \( a^2 \) должно быть положительным. Значит, диагональ сечения не может быть меньше высоты цилиндра. По условию задачи, вероятно, допущена ошибка, и диагональ основания была дана в пункте 6. Если предположить, что диагональ именно этого сечения равна, например, 17 см:
6. \( a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \) ⇒ \( a = \sqrt{64} = 8 \) см.
7. Хорда \( a \) и радиус основания \( R \) связаны с расстоянием от оси до хорды \( x \) следующим соотношением (рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), половиной хорды \( \frac{a}{2} \) и расстоянием \( x \) как катетами): \( R^2 = x^2 + (\frac{a}{2})^2 \).
8. \( x^2 = R^2 - (\frac{a}{2})^2 \).
9. Подставим значения: \( x^2 = 5^2 - (\frac{8}{2})^2 = 25 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \).
10. \( x = \sqrt{9} = 3 \) см.

Примечание: В условии задачи отсутствует значение диагонали сечения. Приведен пример решения с предположением, что диагональ сечения равна 17 см.

Если диагональ сечения равна 17 см, то ответ: 3 см.