8. В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что треугольники АВ1С1 и АВС подобны.

Давай докажем подобие треугольников.

Дано: △ABC, ∠BAC — тупой. BB1 ‪⊥ AC, CC1 ‪⊥ AB. BB1 и CC1 — высоты.

Доказать: △AB1C1 ~ △ABC.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник AC1HB1:
• ∠ AC1B = 90° (так как CC1 ‪⊥ AB).
• ∠ AB1C = 90° (так как BB1 ‪⊥ AC).
• Сумма углов ∠ AC1B + ∠ AB1C = 90° + 90° = 180°.
• Следовательно, четырехугольник AC1HB1 вписан в окружность с диаметром AB (или AC, если угол прямой/острый).
2. Подобие треугольников:
• Признак подобия по двум углам:
• ∠ A — общий угол для △AB1C1 и △ABC.
• ∠ AB1C = ∠ ABC (это углы, опирающиеся на одну дугу AC в окружности, описанной около AC1HB1).
• Внимание! Угол A в △AB1C1 и △ABC — один и тот же.
• ∠ AC1B = ∠ ABC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых CC1 и AB, секущей BC).
• ∠ AB1C = ∠ ACB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BB1 и AC, секущей BC).
3. Вывод:
• Треугольники △AB1C1 и △ABC имеют общий угол ∠ A.
• ∠ AC1B = ∠ ABC (углы, опирающиеся на дугу AC в окружности, проходящей через A, C1, B1, C).
• ∠ AB1C = ∠ ACB.
• Таким образом, по двум углам (∠ A и ∠ AC1B = ∠ ABC, или ∠ A и ∠ AB1C = ∠ ACB), треугольники △AB1C1 и △ABC подобны.

Доказано.