4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, осью ОХ и графиком функции y=f(x): 1) a=3, b=4, f(x)=x² 2) a=0, b=2, f(x)=x² + 1 3) a = -π/6, b = 0, f(x) = cos x

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится как определённый интеграл от функции на заданном отрезке.

1. \( a=3, b=4, f(x)=x^2 \)
   \( S = \int_3^4 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_3^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} \)
2. \( a=0, b=2, f(x)=x^2 + 1 \)
   \( S = \int_0^2 (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = (\frac{2^3}{3} + 2) - (\frac{0^3}{3} + 0) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \)
3. \( a = -\frac{\pi}{6}, b = 0, f(x) = \cos x \)
   \( S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^0 \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{-\frac{\pi}{6}}^0 = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{6}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \)

Ответ: 1) \( \frac{37}{3} \); 2) \( \frac{14}{3} \); 3) \( \frac{1}{2} \).