8. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 5, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 7*sqrt(3). Найдите объём пирамиды SABC.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]

Где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания (правильный треугольник ABC):

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

В нашем случае \( a = 5 \):

\[ S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \]

2. Найдём высоту пирамиды:

По условию, боковое ребро \( SA \) перпендикулярно основанию, значит, \( SA \) является высотой пирамиды.

\( h = SA = 7\sqrt{3} \)

3. Вычислим объём пирамиды:

Подставим найденные значения в формулу объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot 7\sqrt{3} \]

Сначала перемножим корни:

\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \)

Теперь подставим это обратно:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot 7 \]

Сократим \( 3 \) в числителе и \( 3 \) в знаменателе:

\[ V = \frac{25 \cdot 7}{4} \]

\( 25 \times 7 = 175 \)

\[ V = \frac{175}{4} \]

Можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в десятичную:

\[ V = 43.75 \]

Ответ: \(\frac{175}{4}\) или 43.75