8. В фирме работает 100 человек, из них 70 человек знают португальский язык, а 50 — французский. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) В этой фирме хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки. 2) Нет ни одного человека в этой фирме, знающего и португальский, и французский языки. 3) Если человек из этой фирмы знает португальский язык, то он знает и французский. 4) Не более 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Задание 8: Анализ множеств

Условие:

• Всего человек: 100
• Знают португальский: 70
• Знают французский: 50

Анализ утверждений:

1. Утверждение 1: "В этой фирме хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки."
• Обозначим: P - множество знающих португальский, F - множество знающих французский.
• Дано: |Всего| = 100, |P| = 70, |F| = 50.
• По формуле включения-исключения: |P ∪ F| = |P| + |F| - |P ∩ F|.
• Максимальное число людей, знающих оба языка: min(|P|, |F|) = min(70, 50) = 50.
• Минимальное число людей, знающих оба языка: |P ∩ F| = |P| + |F| - |P ∪ F|. Чтобы минимизировать |P ∩ F|, нужно максимизировать |P ∪ F|. Максимум |P ∪ F| = 100 (все люди).
• Тогда минимальное |P ∩ F| = 70 + 50 - 100 = 20.
• Таким образом, число людей, знающих оба языка, находится в диапазоне [20, 50].
• Так как 20 > 5, то утверждение верно.
2. Утверждение 2: "Нет ни одного человека в этой фирме, знающего и португальский, и французский языки."
• Это означает, что |P ∩ F| = 0.
• Мы выяснили, что минимальное число людей, знающих оба языка, равно 20.
• Следовательно, утверждение неверно.
3. Утверждение 3: "Если человек из этой фирмы знает португальский язык, то он знает и французский."
• Это означает, что множество P является подмножеством множества F (|P| ⊆ |F|).
• Однако, |P| = 70, а |F| = 50. Меньшее множество не может быть подмножеством большего.
• Следовательно, утверждение неверно.
4. Утверждение 4: "Не более 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки."
• Это означает, что |P ∩ F| ≤ 50.
• Мы выяснили, что максимальное число людей, знающих оба языка, равно 50 (когда все, кто знает французский, также знают португальский).
• Следовательно, утверждение верно.

Вывод: Верны утверждения 1 и 4.

Ответ: 14