13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 4, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 5√3. Найдите объём пирамиды SABC.

Задание 13: Объём пирамиды

Условие:

• Основание пирамиды SABC - правильный треугольник ABC со стороной \( a = 4 \).
• Боковое ребро SA перпендикулярно основанию.
• Длина бокового ребра \( SA = 5√3 \).

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{основания} \times h \), где \( S_{основания} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания (правильного треугольника ABC).
• Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \( S_{ABC} = \frac{a^2√3}{4} \).
• Подставим значение стороны \( a = 4 \):
• \( S_{ABC} = \frac{4^2√3}{4} = \frac{16√3}{4} = 4√3 \).
2. Определим высоту пирамиды.
• По условию, боковое ребро SA перпендикулярно основанию. Следовательно, высота пирамиды \( h = SA = 5√3 \).
3. Вычислим объём пирамиды.
• \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \times SA \)
• \( V = \frac{1}{3} \times (4√3) \times (5√3) \)
• \( V = \frac{1}{3} \times 4 \times 5 \times (√3 \times √3) \)
• \( V = \frac{1}{3} \times 20 \times 3 \)
• \( V = 20 \)

Ответ: 20