8. Упростите выражение \( \frac{7y}{x-y} - \frac{14y}{x^2-xy} \) и найдите его значение при \( x = 18, y = 7,5 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Вынесем \( x \) за скобки во знаменателе второй дроби:

\[ \frac{7y}{x-y} - \frac{14y}{x(x-y)} \]

2. Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x-y) \):

\[ \frac{7y \cdot x}{(x-y) \cdot x} - \frac{14y}{x(x-y)} = \frac{7xy}{x(x-y)} - \frac{14y}{x(x-y)} = \frac{7xy - 14y}{x(x-y)} \]

3. Вынесем \( 7y \) в числителе:

\[ \frac{7y(x-2)}{x(x-y)} \]

Проверим условие, похоже, что в знаменателе второй дроби было \( x^2 - y^2 \), а не \( x^2 - xy \) или ошибка в копировании. Если допустить, что знаменатель второй дроби \( x^2 - y^2 \), то:

\[ \frac{7y}{x-y} - \frac{14y}{x^2-y^2} = \frac{7y(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{14y}{(x-y)(x+y)} = \frac{7xy + 7y^2 - 14y}{(x-y)(x+y)} = \frac{7y(x+y-2)}{(x-y)(x+y)} \]

Этот вариант тоже не даёт простого ответа. Перейдём к исходному условию с \( x^2 - xy \), если оно верно.

\[ \frac{7xy - 14y}{x(x-y)} = \frac{7y(x-2)}{x(x-y)} \]

Теперь подставим значения \( x = 18 \) и \( y = 7,5 \):

\[ x-2 = 18 - 2 = 16 \]

\[ x(x-y) = 18(18 - 7,5) = 18(10,5) = 189 \]

\[ 7y(x-2) = 7 \cdot 7,5 \cdot 16 = 52,5 \cdot 16 = 840 \]

Итоговое выражение:

\[ \frac{840}{189} \]

Сократим дробь. Оба числа делятся на 7:

\[ \frac{840 \div 7}{189 \div 7} = \frac{120}{27} \]

Оба числа делятся на 3:

\[ \frac{120 \div 3}{27 \div 3} = \frac{40}{9} \]

Ответ: \( \frac{40}{9} \)