8. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим переменные.
• Пусть \( x \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
• Скорость течения реки = 5 км/ч.
• Расстояние (туда и обратно) = 216 км.
• Время стоянки = 5 часов.
• Общее время в пути = 23 часа.
• Шаг 2: Выразим скорости теплохода по течению и против течения.
• Скорость по течению = \( x + 5 \) км/ч.
• Скорость против течения = \( x - 5 \) км/ч.
• Шаг 3: Выразим время движения.
• Время движения по течению (t1) = Расстояние / Скорость по течению = \( \frac{216}{x+5} \) часов.
• Время движения против течения (t2) = Расстояние / Скорость против течения = \( \frac{216}{x-5} \) часов.
• Шаг 4: Составим уравнение, исходя из общего времени.
• Общее время = Время по течению + Время против течения + Время стоянки.
• \( 23 = \frac{216}{x+5} + \frac{216}{x-5} + 5 \)
• Шаг 5: Решим уравнение.
• Сначала вычтем время стоянки из общего времени:
• \( 23 - 5 = \frac{216}{x+5} + \frac{216}{x-5} \)
• \( 18 = \frac{216}{x+5} + \frac{216}{x-5} \)
• Разделим обе части уравнения на 18:
• \( 1 = \frac{12}{x+5} + \frac{12}{x-5} \)
• Приведем правую часть к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \):
• \( 1 = \frac{12(x-5) + 12(x+5)}{(x+5)(x-5)} \)
• \( 1 = \frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} \)
• \( 1 = \frac{24x}{x^2 - 25} \)
• Умножим обе части на \( x^2 - 25 \) (при условии \( x
  eq 5 \) и \( x
  eq -5 \)):
• \( x^2 - 25 = 24x \)
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \( x^2 - 24x - 25 = 0 \)
• Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
• По теореме Виета: сумма корней равна 24, произведение равно -25.
• Легко подобрать корни: \( x_1 = 25 \) и \( x_2 = -1 \).
• Шаг 6: Выберем подходящий корень.
• Скорость теплохода не может быть отрицательной, поэтому \( x = 25 \) км/ч.
• Проверим условие \( x > 5 \): \( 25 > 5 \), условие выполняется.

Ответ: Скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч.