7. В треугольнике один из углов равен 30°, а второй 60°. Сторона, лежащая напротив первого угла, равна 5√3 см. Найти другие стороны треугольника.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем третий угол треугольника.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Третий угол = \( 180° - 30° - 60° = 90° \).
• Таким образом, треугольник является прямоугольным.
• Шаг 2: Применим теорему синусов.
• Теорема синусов гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( A, B, C \) — противолежащие им углы.
• Пусть:
• \( A = 30° \), \( a = 5\sqrt{3} \) см (сторона напротив угла 30°).
• \( B = 60° \), \( b \) — сторона напротив угла 60°.
• \( C = 90° \), \( c \) — сторона напротив угла 90° (гипотенуза).
• Шаг 3: Найдем сторону \( b \).
• \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)
• \( \frac{5\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 60°} \)
• \( \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} \)
• \( 10\sqrt{3} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \)
• \( b = \frac{10\sqrt{3} · \sqrt{3}}{2} = \frac{10 · 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
• Шаг 4: Найдем сторону \( c \) (гипотенузу).
• \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \)
• \( \frac{5\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 90°} \)
• \( \frac{5\sqrt{3}}{1/2} = \frac{c}{1} \)
• \( c = 5\sqrt{3} · 2 = 10\sqrt{3} \) см.

Ответ: Другие стороны треугольника равны 15 см и 10√3 см.