8. Сравните, не вычисляя: a) 31² < 30 · 32 + 1 б) (20 - 1)² < 20² - 1² в) (10 + 1)² > 10² + 1² г) 45² < 44 · 46 + 1

Решение:

Будем использовать формулы квадрата суммы $$(a+b)² = a² + 2ab + b²$$ и квадрата разности $$(a-b)² = a² - 2ab + b²$$, а также разность квадратов $$(a-b)(a+b) = a² - b²$$.

1. а) Рассмотрим $$(30 + 1)²$$ по формуле квадрата суммы:
   $$ (30 + 1)² = 30² + 2 · 30 · 1 + 1² = 30² + 60 + 1 $$
   Это равно $$30 · 32 + 1$$.
   Так как $$31² = (30 + 1)² = 30² + 60 + 1$$, а $$30 · 32 + 1 = (30)(30+2) + 1 = 30^2 + 60 + 1$$.
   Следовательно, $$31² = 30 · 32 + 1$$. В задании стоит знак '<', значит, утверждение неверно (должно быть '=').
2. б) Рассмотрим $$(20 - 1)²$$ по формуле квадрата разности:
   $$ (20 - 1)² = 20² - 2 · 20 · 1 + 1² = 20² - 40 + 1 $$
   Сравним с $$20² - 1² = 20² - 1$$.
   $$ 20² - 40 + 1 $$ против $$ 20² - 1 $$
   $$ -40 + 1 = -39 $$ против $$ -1 $$
   $$ -39 < -1 $$.
   Следовательно, $$(20 - 1)² < 20² - 1²$$. Утверждение верно.
3. в) Рассмотрим $$(10 + 1)²$$ по формуле квадрата суммы:
   $$ (10 + 1)² = 10² + 2 · 10 · 1 + 1² = 10² + 20 + 1 $$
   Сравним с $$10² + 1² = 10² + 1$$.
   $$ 10² + 20 + 1 $$ против $$ 10² + 1 $$
   $$ 20 + 1 = 21 $$ против $$ 1 $$
   $$ 21 > 1 $$.
   Следовательно, $$(10 + 1)² > 10² + 1²$$. Утверждение верно.
4. г) Рассмотрим $$(44 + 1)(46 + 1)$$?
   Нет, рассмотрим $$(45 - 1)(45 + 1)$$.
   Используем формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a² - b²$$.
   $$ 44 · 46 = (45 - 1)(45 + 1) = 45² - 1² = 45² - 1 $$
   Следовательно, $$44 · 46 + 1 = (45² - 1) + 1 = 45²$$.
   Таким образом, $$45² = 44 · 46 + 1$$. В задании стоит знак '<', значит, утверждение неверно (должно быть '=').

Ответ:

• а) $$31² = 30 · 32 + 1$$. Утверждение неверно.
• б) $$(20 - 1)² < 20² - 1²$$. Утверждение верно.
• в) $$(10 + 1)² > 10² + 1²$$. Утверждение верно.
• г) $$45² = 44 · 46 + 1$$. Утверждение неверно.