8. Решите уравнение: \(\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1\).

Решение:

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}\)

Заметим, что \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})\) и \(\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})\). Также \(\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})\).

Уравнение принимает вид:

\(\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = \sin(\frac{\pi}{6})\)

Используем формулу синуса суммы \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\):

\(\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})\)

Это равенство выполняется в двух случаях:

1. \(x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
2. \(x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Решаем первое уравнение:

\(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Решаем второе уравнение:

\(x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\)

\(x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k\)

\(x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k\)

\(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = 2\pi k\) или \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).