4. Решите неравенство: a) \(\frac{x - 4}{(2x - 5)(3x - 1)} \ge 0;\) б) \(x^2 - 17x + 72 \ge 0\).

Решение:

а) \(\frac{x - 4}{(2x - 5)(3x - 1)} \ge 0\)

Метод интервалов.

1. Найдём корни числителя и знаменателя: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\), \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\), \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\).
2. Отметим точки на числовой оси: \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{2}\), \(4\).
3. Определим знаки интервалов:

На интервале \((4; \infty)\) выражение положительное.

На интервале (\(\frac{5}{2}\); 4) выражение отрицательное.

На интервале (\(\frac{1}{3}\); \(\frac{5}{2}\)) выражение положительное.

На интервале (\(-\infty\); \(\frac{1}{3}\)) выражение отрицательное.

Учитывая, что \(x \neq \frac{5}{2}\) и \(x \neq \frac{1}{3}\), а \(x = 4\) входит в решение, получаем:

\(x \in [\frac{1}{3}; \frac{5}{2}) \cup [4; \infty)\).

б) \(x^2 - 17x + 72 \ge 0\)

Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 17x + 72 = 0\).

Дискриминант \( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \).

Корни: \( x_1 = \frac{17 - 1}{2} = 8 \), \( x_2 = \frac{17 + 1}{2} = 9 \).

Парабола \(y = x^2 - 17x + 72\) ветвями вверх. Значит, \(x^2 - 17x + 72 \ge 0\) при \(x \le 8\) или \(x \ge 9\).

\(x \in (-\infty; 8] \cup [9; \infty)\).

Ответ: а) \(x \in [\frac{1}{3}; \frac{5}{2}) \cup [4; \infty)\); б) \(x \in (-\infty; 8] \cup [9; \infty)\).