7. а) Решите уравнение: \(x - 3\sqrt{x} - 1 + 1 = 0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \((\sqrt{3}; \sqrt{20})\).

Решение:

а) \(x - 3\sqrt{x} - 1 + 1 = 0\)

Упростим уравнение: \(x - 3\sqrt{x} = 0\).

Сделаем замену: пусть \(y = \sqrt{x}\), тогда \(x = y^2\). Так как \(y = \sqrt{x}\), то \(y \ge 0\).

Уравнение примет вид: \(y^2 - 3y = 0\).

Вынесем \(y\) за скобки:

\(y(y - 3) = 0\).

Это даёт два возможных значения для \(y\): \(y = 0\) или \(y = 3\).

Вернёмся к замене \(y = \sqrt{x}\):

• Если \(y = 0\), то \(\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\).
• Если \(y = 3\), то \(\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \((\sqrt{3}; \sqrt{20})\).

Оценим значения корней:

• \(\sqrt{3}\) находится между \(\sqrt{1}=1\) и \(\sqrt{4}=2\). Примерно 1.732.
• \(\sqrt{20}\) находится между \(\sqrt{16}=4\) и \(\sqrt{25}=5\). Примерно 4.472.

Отрезок \((\sqrt{3}; \sqrt{20})\) примерно равен \((1.732; 4.472)\).

Из найденных корней \(x = 0\) и \(x = 9\), ни один не принадлежит данному отрезку.

Ответ: а) x = 0, x = 9; б) корней, принадлежащих отрезку, нет.