8. Решите уравнение: sin 2x - cos x = 2sin x - 1.

Решение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ \sin 2x - \cos x - 2\sin x + 1 = 0 \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).

\[ 2\sin x \cos x - \cos x - 2\sin x + 1 = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (2\sin x \cos x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0 \]

\[ 2\sin x (\cos x - 1) - (\cos x - 1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (\cos x - 1) \):

\[ (2\sin x - 1)(\cos x - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( 2\sin x - 1 = 0 \)

\[ 2\sin x = 1 \]

\[ \sin x = \frac{1}{2} \]\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( \cos x - 1 = 0 \)

\[ \cos x = 1 \]\[ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).