8. Решите уравнение: √3 sin x + cos x = 1

8. Решение уравнения:

Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части на 2 (так как \( \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \)):

\( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2} \)

Заметим, что \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).

Используем формулу синуса суммы \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \):

\( \sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

\( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

Отсюда:

\( x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

1) \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = 2\pi k \).

2) \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \).

Ответ: \( x = 2\pi k \) или \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).