4. Решите неравенство: a) (x-4)/((2x-5)(3x-1)) >= 0 б) x^2 - 17x + 72 >= 0

4. Решение неравенств:

1. а) \( \frac{x-4}{(2x-5)(3x-1)} \ge 0 \)

   Найдём корни числителя и знаменателя:

   • Числитель: \( x-4 = 0 \implies x = 4 \).
   • Знаменатель: \( (2x-5)(3x-1) = 0 \implies x = \frac{5}{2} \) или \( x = \frac{1}{3} \).

   Отметим точки на числовой оси: \( \frac{1}{3}, \frac{5}{2}, 4 \). Определим знаки интервалов:

   • При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( \frac{+}{(+)(+)} = + \)
   • При \( \frac{5}{2} < x < 4 \) (например, \( x=3 \)): \( \frac{-}{(+)(+)} = - \)
   • При \( \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2} \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{-}{(-)(+)} = + \)
   • При \( x < \frac{1}{3} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{-}{(-)(-)} = - \)

   Нам нужен знак \( \ge 0 \). Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю (\( x
   e \frac{5}{2}, x
   e \frac{1}{3} \)), а числитель может быть равен нулю (\( x=4 \)), получаем:

   \( x \in \left( \frac{1}{3}; \frac{5}{2} \right) \cup [4; +\infty) \)

2. б) \( x^2 - 17x + 72 \ge 0 \)

   Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 17x + 72 = 0 \). Используем теорему Виета:

   • \( x_1 + x_2 = 17 \)
   • \( x_1 \cdot x_2 = 72 \)

   Корни: \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = 9 \).

   Парабола \( y = x^2 - 17x + 72 \) ветвями вверх. Неравенство \( \ge 0 \) выполняется, когда \( x \le 8 \) или \( x \ge 9 \).

   \( x \in (-\infty; 8] \cup [9; +\infty) \)

Ответ: а) \( \left( \frac{1}{3}; \frac{5}{2} \right) \cup [4; +\infty) \); б) \( (-\infty; 8] \cup [9; +\infty) \).