8. Расстояние между пристанями равно 112 км. По течению реки катер прошел это расстояние на 1 час быстрее, чем обратный путь. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость катера как \(v\) км/ч.
2. Шаг 2: Скорость катера по течению: \( v_{по} = v + 1 \) км/ч.
3. Шаг 3: Скорость катера против течения: \( v_{против} = v - 1 \) км/ч.
4. Шаг 4: Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{112}{v+1} \) часов.
5. Шаг 5: Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{112}{v-1} \) часов.
6. Шаг 6: По условию, катер прошел расстояние по течению на 1 час быстрее, чем против течения:
• \( t_{против} - t_{по} = 1 \)
• \( \frac{112}{v-1} - \frac{112}{v+1} = 1 \)
7. Шаг 7: Приведем дроби к общему знаменателю \( (v-1)(v+1) = v^2 - 1 \):
• \( \frac{112(v+1) - 112(v-1)}{(v-1)(v+1)} = 1 \)
• \( \frac{112v + 112 - 112v + 112}{v^2 - 1} = 1 \)
• \( \frac{224}{v^2 - 1} = 1 \)
8. Шаг 8: Решим полученное уравнение:
• \( v^2 - 1 = 224 \)
• \( v^2 = 225 \)
• \( v = ±\sqrt{225} \)
• \( v = ±15 \)
9. Шаг 9: Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
• \( v = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч