8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

Функция: \( y = x^4 - 8x^2 + 5 \), на промежутке \( [-3; 2] \).

1. Найдем производную функции:
2. \( y' = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x \)
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. \( 4x^3 - 16x = 0 \)
5. \( 4x(x^2 - 4) = 0 \)
6. \( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)
7. Критические точки: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
8. Теперь проверим, какие из этих критических точек попадают в заданный промежуток \( [-3; 2] \).
9. Точки \( x = 0 \) и \( x = 2 \) принадлежат промежутку.
10. Точка \( x = -2 \) также принадлежит промежутку.
11. Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах промежутка:
12. \( y(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \)
13. \( y(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \)
14. \( y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \)
15. \( y(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \)
16. Сравним полученные значения: \( 5, -11, -11, 14 \).
17. Наибольшее значение равно \( 14 \) (при \( x = -3 \)).
18. Наименьшее значение равно \( -11 \) (при \( x = 2 \) и \( x = -2 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее значение равно -11.