5. Вычислить интеграл (определенный):

Решение:

Найдём неопределённый интеграл от функции \( f(x) = x^2 + 1 \):

\[ \int (x^2 + 1) dx = \int x^2 dx + \int 1 dx = \frac{x^3}{3} + x + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} \]

Подставим верхний предел:

\[ \frac{1^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \]

Подставим нижний предел:

\[ \frac{(-1)^3}{3} + (-1) = \frac{-1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \]

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ: \(\frac{8}{3}\).