8 Найдите значение выражения b^5√2+4 / (b√2)^5 при b = 4.

Решение:

Подставим значение b = 4 в выражение:

\[ \frac{4^5 \sqrt{2} + 4}{(4\sqrt{2})^5} \]

1. Вычислим числитель:

4^5 = 1024

Числитель = 1024 * √2 + 4

2. Вычислим знаменатель:

(4√2)^5 = 4^5 * (√2)^5

4^5 = 1024

(√2)^5 = (√2)^4 * √2 = (2^2) * √2 = 4√2

Знаменатель = 1024 * 4√2 = 4096√2

3. Подставим числитель и знаменатель обратно в выражение:

\[ \frac{1024\sqrt{2} + 4}{4096\sqrt{2}} \]

4. Упростим выражение:

Разделим числитель и знаменатель на 4:

\[ \frac{(1024\sqrt{2} + 4) / 4}{(4096\sqrt{2}) / 4} = \frac{256\sqrt{2} + 1}{1024\sqrt{2}} \]

Это можно записать как:

\[ \frac{256\sqrt{2}}{1024\sqrt{2}} + \frac{1}{1024\sqrt{2}} \]

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{1024\sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от радикала в знаменателе последней дроби, умножим числитель и знаменатель на √2:

\[ \frac{1}{1024\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{1024\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{1024 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{2048} \]

Итого:

\[ \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2048} \]

Переведем 1/4 в дробь со знаменателем 2048:

1/4 = 512/2048

Итого:

\[ \frac{512}{2048} + \frac{\sqrt{2}}{2048} = \frac{512 + \sqrt{2}}{2048} \]

Ответ: $$\frac{512 + \sqrt{2}}{2048}$$