8. Найдите значение выражения √54 · 62 · 132.

Решение:

Вычислим значение выражения:

\( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 132} = \sqrt{(9 \cdot 6) \cdot 36 \cdot (12 \cdot 11)} = \sqrt{9 \cdot 6 \cdot 36 \cdot 12 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 36 \cdot (6 \cdot 12) \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 36 \cdot 72 \cdot 11} \)

Это не тот путь, который стоит выбрать. Попробуем разложить числа на простые множители:

\( 54 = 2 \cdot 3^3 \)

\( 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)

\( 132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \)

Теперь подставим это в выражение под корнем:

\( 54 \cdot 6^2 \cdot 132 = (2 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11) \)

Сгруппируем одинаковые множители:

\( = 2^{1+2+2} \cdot 3^{3+2+1} \cdot 11^1 = 2^5 \cdot 3^6 \cdot 11 \)

Теперь извлечём корень:

\( \sqrt{2^5 \cdot 3^6 \cdot 11} = \sqrt{2^4 \cdot 2^1 \cdot 3^6 \cdot 11} = 2^2 \cdot 3^3 \sqrt{2 \cdot 11} = 4 \cdot 27 \sqrt{22} = 108\sqrt{22} \)

Проверим ещё раз условия задачи. В задании написано \( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 13^2} \) или \( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 132} \). Судя по написанию, это \( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 13^2} \). Исправим это.

\( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 13^2} = \sqrt{54} \cdot \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{13^2} = \sqrt{9 \cdot 6} \cdot 6 \cdot 13 = 3\sqrt{6} \cdot 78 = 234\sqrt{6} \)

Если всё же это \( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 132} \), то ответ \( 108\sqrt{22} \).

Если в задании было \( \sqrt{54} \cdot 6^2 \cdot 13^2 \), то:

\( \sqrt{54} \cdot 6^2 \cdot 13^2 = \sqrt{9 \cdot 6} \cdot 36 \cdot 169 = 3\sqrt{6} \cdot 6084 = 18252\sqrt{6} \)

В условии задачи написано \( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 13^2} \), но на изображении 132. Будем считать, что это 132.

\( \sqrt{54 \cdot 6^2 \cdot 132} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 3)^2 \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11)} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11)} = \sqrt{2^{1+2+2} \cdot 3^{3+2+1} \cdot 11} = \sqrt{2^5 \cdot 3^6 \cdot 11} = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3^6 \cdot 11} = 2^2 \cdot 3^3 \sqrt{2 \cdot 11} = 4 \cdot 27 \sqrt{22} = 108\sqrt{22} \)

Ответ: \( 108\sqrt{22} \).