8. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{30}}{\sqrt{32}}\)

Для начала, упростим выражение под корнем в числителе.
\(\sqrt{15} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{15 \cdot 30} = \sqrt{450}\).
Теперь разложим 450 на простые множители, чтобы упростить корень: \(450 = 2 \cdot 225 = 2 \cdot 15^2 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\). Значит \(\sqrt{450} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}\).
Теперь разложим 32 на простые множители, чтобы упростить корень: \(32 = 2^5\). Значит \(\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = \sqrt{2^4 \cdot 2} = 2^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
\(\frac{15\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\).
Сократим \(\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{15}{4}\).
Итоговый ответ: \(\frac{15}{4} = 3.75\)